Шкільна математична олімпіада
Завдання
математичної олімпіади
5 клас
1.Дев’ять
автобусних зупинок розташовані на прямій вулиці так, що відстані між будь –
якими двома сусідніми зупинками однакова. Між першою і третьою зупинками
відстань 600 м. Яка відстань між першою і останньою?
2. Запишіть
число 2010 за допомогою 11 трійок і арифметичних дій.
3. У Сергія однокласників на 7 більше, ніж однокласниць. У його класі хлопців
вдвічі більше, ніж дівчат. Скільки однокласниць у Сергійкової однокласниці
Катрусі?
4. Двоє гравців по черзі дістають з скриньки кульки. Програє той, хто забирає
останню кульку. Хто може забезпечити собі перемогу, перший, чи другий, якщо
спочатку в скриньці було 2002 кульки і за один хід можна виймати не менше
однієї і не більше п'яти кульок?
5. Лікар повинен
оглянути трьох хворих з різними інфекційними хворобами. Чи можливо це зробити і
як саме, якщо він має лише дві пари гумових рукавичок?
6 клас
1.Андрійкові
було 16 років 19 місяців тому, а Миколці 19 років через 16 місяців. Хто з них
старший за віком? Відповідь обґрунтуйте.
2. Маємо два пісочні годинники: на 7 хвилин і
на 11 хвилин, яйце вариться 15 хвилин. Як відміряти час за допомогою
годинників?
3. Катруся
та її друзі стали в коло. Виявилося, що обидва сусіди в кожної дитини однієї
статі. Хлопчиків серед Катрусиних друзів п’ять. А скільки дівчаток?
4. Назвемо
числа «дзеркальними», якщо справа наліво воно читається так само, як і зліва
направо. Наприклад, число 98889 – «дзеркальне». Знайдіть усі «дзеркальні»
п’ятизначні натуральні числа, в записі яких використовується тільки цифри 2 та
0. Відповідь обґрунтуйте.
5. У класі
навчаються 37 учнів. Довести, що хоча б четверо з них відмічають день
народження протягом місяця.
7 клас
1. Летить
зграя сороко ніжок і триголових драконів. У всіх разом 26 голів і 298 ніг. Я
кожної сороко ніжки одна голова. Скільки ніг у триголового дракона?
2. Знайдіть
найменше 4 – значне число, яке при ділені на 2,3,5,7 і 11 дає в остачі 1.
3. У
футбольній команді (11 гравців) треба вибрати капітана та його помічника.
Скількома способами це можна зробити?
4. В таксі
їдуть 5 пасажирів. Доведіть, що серед них знайдуться два пасажири, що мають
однакову кількість знайомих серед цих п’яти пасажирів.
5. Є шість
монет, серед яких дві – фальшиві, вони легші від справжніх. За три зважування
на шалькових терезах без гир знайдіть обидві фальшиві монети.
6. Знайдіть
х з рівняння 5 – (1 – (2х - 5)) = 2009
8 клас
1.Є 101
монета. Серед них 50 фальшивих. Кожна фальшива монета відрізняється від справжньої
на 1 грам. За допомогою одного зважування на терезах зі стрілкою (показує
різницю мас на чашах) визначити, чи є монета фальшивою.
2. У ряд
виписані числа від 1 до 10. Чи можна розставити між ними знаки «+» та «-» так,
щоб значення здобутого виразу дорівнювало нулю?
3. Визначити
дві останні цифри числа 2 2004.
4. У коробці
60 сірників. За один хід можна взяти від
1 до 5 сірників. Програє той, хто не може зробити хід. Хто з гравців може
забезпечити собі виграш?
5. Доведіть,
що дошку 6х6 не можна покрити дев’ятьма плитками 4х1.
6. При яких
значеннях m рівняння mх – 2008 = 2009 і 2009х = m - 2008х
9 клас
1.Є 25
коробок цукерок трьох сортів. Доведіть, що серед них знайдуться 9 коробок
цукерок того самого сорту.
2. Знайдіть
суму внутрішніх кутів при вершинах зірчастого семикутника.
3. 10
школярів на олімпіаді розв’язали 35 задач, причому відомо, що серед них є
школярі, які розв’язали рівно одну задачу, які розв’язали рівно дві задачі, і
школярі, які розв’язали рівно три задачі. Доведіть, що є школяр, який розв’язав
не менше ніж п’ять задач.
4. Знайдіть
суму коренів рівняння (х - 1)3 = 4(х - 1).
5. Є три
купки камінців: у першій – 10, у другій – 15, у третій – 20. За один хід
дозволяється розбити будь – яку купку на дві менші. Програє той, хто не зможе
зробити хід. Хто з гравців може забезпечити собі виграш?
6.Запишіть
наступний член послідовності 111, 213,
141, 516, 171…..
Відповіді, розв’язання та
вказівки до оцінювання
5 клас
1.
Відповідь:
2400 метрів. З умови задачі випливає, що відстань між першою і третьою
зупинками 600 м, отже між першою і другою – 300 м. Зупинок у нас дев’ять, а відстаней між ними вісім, отже 300
помножити на вісім дорівнює 2400 метрів.
Оцінювання:
+, якщо наведено правильне пояснення
розв’язання;
±,
якщо вказано правильну відповідь;
-, якщо відповідь неправильна;
0, якщо учень не приступав до виконання
завдань.
2.
Відповідь: 2010
= 3 •333 + 3 •333 + 3 • 3 + 3.
Оцінювання:
+, якщо наведено правильне пояснення
розв’язання;
±, якщо
частина міркування є правильною;
-, якщо відповідь неправильна;
0, якщо учень не приступав до виконання
завдань.
3. Відповідь: Якщо дівчат у класі х, то хлопців – 2х. Тоді 2х – х = 8,
х = 8. Отже, дівчаток у класі 8, а
однокласниць у Катрусі – 7.
Оцінювання:
+, якщо наведено правильне пояснення розв’язання;
±,
якщо вказано правильну відповідь;
-, якщо відповідь неправильна;
0, якщо учень не приступав до виконання
завдань.
4.
Відповідь: Виграє
перший, якщо першим ходом забере 3 кульки, а за кожен наступний хід він повинен
брати стільки кульок, щоб у сумі з кульками, які взяв другий гравець, було 6
кульок, в кінці гри залишилася одна кулька, яка дістанеться другому.
Оцінювання:
+, якщо наведено правильне пояснення
розв’язання;
±,
якщо вказано правильну відповідь;
-, якщо відповідь неправильна;
0, якщо учень не приступав до виконання
завдань.
5.
Відповідь: Можливо.
Використавши дві пари рукавичок, лікар може оглянути двох хворих. Після чого
одну з пар треба вивернути і вставити в ці рукавички із другої пари. Отримаємо
подвійну пару рукавичок, у якої внутрішня і зовнішня поверхня дезінфіковані.
Оцінювання:
+, якщо наведено правильне пояснення
розв’язання;
±,
якщо вказано правильну відповідь;
-, якщо відповідь неправильна;
0, якщо учень не приступав до виконання
завдань.
6 клас
1. Відповідь: Старший Миколка. З умови задачі випливає, що зараз
Андрійкові 17 років і 7 місяців, а Миколці – 17 років і 8 місяців. Оцінювання:
+, якщо наведено правильне пояснення
розв’язання;
±,
якщо вказано правильну відповідь;
-, якщо відповідь неправильна;
0, якщо учень не приступав до виконання
завдань.
2. Відповідь: Поставити два годинники
одночасно. Через 7 хв. починати варити яйце. У другому годиннику пісок ще буде
сипатися 4 хв. Потім перевернути другий годинник і виміряти ще 11 хв.
Оцінювання:
+, якщо наведено правильне пояснення розв’язання;
±,
якщо вказано правильну відповідь;
-, якщо відповідь неправильна;
0, якщо учень не приступав до виконання
завдань.
3. Відповідь: Четверо. Якщо у когось з Катрусиних друзів сусіди –
однієї статі, то очевидно, що всі хто стоять у колі, тобто хлопчики і дівчатка
чергуються. Отже, дівчаток у колі скільки стільки й хлопчиків: по 5. Тобто, без
Катрусі дівчаток у колі четверо.
Оцінювання:
+, якщо наведено правильне пояснення
розв’язання;
±,
якщо вказано правильну відповідь;
-, якщо відповідь неправильна;
0, якщо учень не приступав до виконання
завдань.
4. Відповідь: 20002, 22022, 22222, 20202. Оскільки першою цифрою
натурального числа не може бути нуль, то
першою цифрою усіх чисел буде 2, а так як числа є «дзеркальними», то і
останньою цифрою теж буде Оцінювання:
+, якщо відповідь вказано правильно і
наведено повне обґрунтування;
±,
якщо вказано три з чотирьох правильних відповідей;
-, якщо відповідь неправильна;
0, якщо учень не приступав до виконання
завдань.
5. Відповідь:
У році 12 місяців, отже 37 : 12
= 3 (ост. 1). Тобто, протягом року у класі відмічають три день народження, а
так як один учень залишився в остачі, то протягом одного з місяців день
народження відмічають четверо учнів. Що й треба було довести.
Оцінювання:
+, якщо наведено правильне пояснення доведення;
±, якщо
є правильний початок міркування;
-, якщо відповідь неправильна;
0, якщо учень не приступав до виконання
завдань.
7 клас
1. Відповідь: 14 ніг. Нехай х – кількість сороко ніжок, у – кількість
драконів. Тоді х + 3у = 26, 40х
298. Звідси х
7. Оскільки 26 – х ділиться на 3, то х = 2 або
х = 5. Перевірка показує, що х = 5, у = 7. Тоді кількість ніг дракона (298 – 40
• 5) : 7 = 14.
Оцінювання:
+, якщо наведено правильне пояснення
розв’язання;
±,
якщо вказано правильну відповідь;
-, якщо відповідь неправильна;
0, якщо учень не приступав до виконання
завдань.
2. Відповідь: 2311. Оскільки 2311 : 2 = 1155 (ост. 1), 2311: 3 = 770
(ост. 1), 2311: 5 = 462 (ост. 1), 2311: 7 = 330 (ост. 1), 2311 : 11 = 21 (ост.
1). Оцінювання:
+, якщо наведено правильне пояснення
розв’язання;
±,
якщо вказано правильну відповідь;
-, якщо відповідь неправильна;
0, якщо учень не приступав до виконання
завдань.
3. Відповідь: 110 способів. Є 11 способів вибрати капітана. Якщо
капітана вже вибрали, то матимемо ще 10 способів вибрати помічника. То
кількість способів вибрати пару 10 • 11 = 110.
Оцінювання:
+, якщо наведено правильне пояснення
розв’язання;
±,
якщо вказано правильну відповідь;
-, якщо відповідь неправильна;
0, якщо учень не приступав до виконання
завдань.
4. Відповідь: Можливі два випадки: коли в компанії пасажирів є хтось,
хто знає чотирьох осіб і коли в компанії
такого немає. В першому випадку в цій компанії немає нікого, хто знав би 0
осіб. Отже, тоді маємо чотири варіанти знайомих: 1,2,3,4. У другому випадку теж
маємо чотири варіанти кількості знайомих: 0,1,2,3. Оскільки 5
4, то, за принципом Діріхле, серед п’яти осіб є принаймні двоє, які мають однакову кількість
знайомих пасажирів.
Оцінювання:
+, якщо наведено правильне пояснення доведення;
±, якщо
є правильний початок міркування;
-, якщо відповідь неправильна;
0, якщо учень не приступав до виконання
завдань.
5. Відповідь: Поділимо наші монети на дві купки по три монети в
кожній. Порівняємо тепер вагу першої та другої купок. За першого зважування
отримаємо два результати: або ваги зрівняються, або якась купка виявиться
легшою. Розглянемо перший випадок: отже, серед обох купок є по одній фальшивій
монеті. Будемо важити по одній монеті з кожної купки. Якщо якась легша від
іншої, то вона і є фальшива, а якщо монети мають однакову вагу, то вони
справжні, а третя - фальшивими.
Розглянемо другий випадок: очевидно, що фальшиві монети знаходяться в
легшій купці. Щоб відшукати їх, покладемо дві монети з легшої купки на ваги. І
якщо їх вага однакова, то монети – фальшиві, якщо різна, то та що важча є
справжня, а легша і та, що залишилася – фальшиві. Оцінювання:
+, якщо
міркування правильне і наведено
повне обґрунтування;
±,
якщо пояснено один з двох випадків;
-, якщо відповідь неправильна;
0, якщо учень не приступав до виконання
завдань.
6. Відповідь: х = 1005.
5
– (1 – (2х - 5)) = 2009,
5
– (1 – 2х + 5) = 2009,
5
– 1 + 2х – 5 = 2009,
2х
= 2009 + 1,
2х
= 2010,
х=
1005.
Відповідь:
х = 1005.
Оцінювання:
+, якщо
міркування правильне і наведено
повне розв’язання;
±,
допущена помилка у відповіді, а хід розв’язання є правильним;
-, якщо відповідь неправильна;
0, якщо учень не приступав до виконання
завдань.
8клас
1. Відповідь: Для визначення справжності монети покладемо на кожну
чашу терезів по 50 монет і знайдемо різницю їх мас. Якщо вибрана справжня
монета, то серед 100 монет, які залишилися, 50 фальшиві, 50 справжні. Якщо
вибрана фальшива монета, то в першій чаші х фальшивих монет, а вказана різниці
49 – 2х, тобто виражається непарним числом. Отже, непарне показання стрілки
вказує на фальшивість вибраної монети, а парність 50 – 2х – на справжність.
Оцінювання:
+, якщо
міркування правильне і наведено
повне обґрунтування;
±,
якщо пояснено один з двох випадків;
-, якщо відповідь неправильна;
0, якщо учень не приступав до виконання
завдань.
2. Відповідь: Не можна. Оскільки в цьому ряду непарна кількість непарних
чисел, то як би ми не розставляли знаки, значення виразу буде числом непарним,
а 0 – число парне. Отже, не можна.
Оцінювання:
+, якщо наведено правильне пояснення
розв’язання;
±,
якщо вказано правильну відповідь;
-, якщо відповідь неправильна;
0, якщо учень не приступав до виконання
завдань.
3. Відповідь: 1 і 6. Оскільки 2004 при діленні на 20 дає остачу 4, то
дві останні цифри числа 2 2004 такі ж, як дві останні цифри числа 2 4,
тобто 1 і 6.
Оцінювання:
+, якщо наведено правильне пояснення міркування;
±,
якщо вказано правильну відповідь;
-, якщо відповідь неправильна;
0, якщо учень не приступав до виконання
завдань.
4. Відповідь: Другий гравець, так як початкова позиція виграшна саме
для нього. Тобто, якщо він своєю виграшною стратегією буде доповнювати ходи
першого гравця до 6 сірників.
Оцінювання:
+, якщо наведено правильне пояснення
міркування;
±,
якщо вказано правильну відповідь;
-, якщо відповідь неправильна;
0, якщо учень не приступав до виконання
завдань.
5. Відповідь: Побудуємо дошку 6 х 6 і покриємо плитками від 1 до 4 як
– небуть, кожного кольору повинно бути по 9. Отже, згідно перевірці, цього
немає.
1
|
2
|
3
|
4
|
1
|
2
|
2
|
3
|
4
|
1
|
2
|
3
|
3
|
4
|
1
|
2
|
3
|
4
|
4
|
1
|
2
|
3
|
4
|
1
|
1
|
2
|
3
|
4
|
1
|
2
|
2
|
3
|
4
|
1
|
2
|
3
|
Оцінювання:
+, якщо наведено правильне пояснення
міркування і додається малюнок;
±,
якщо вказано правильне міркування;
-, якщо міркування неправильне;
0, якщо учень не приступав до виконання
завдань.
6. Відповідь: m =
4017. Легко перевірити, що коли m =
0 умова задачі не виконується. Коли m
0, то корені першого рівняння буде х =
, а коренем другого рівняння буде х =
. Отже, для
виконання умови задачі необхідно і достатньо, щоб
=
. Звідси m 2 =
4017 2 . Звідси m =
4017.
Оцінювання:
+, якщо
міркування правильне і наведено
повне розв’язання;
±,
допущена помилка у відповіді (не пояснено чому
m
0
), а хід розв’язання є правильним;
-, якщо відповідь неправильна;
0, якщо учень не приступав до виконання
завдань.
9 клас
1. Відповідь:
25 = 24:3+1. Нехай таких
коробок 8, то 25 = 24:3+1. Отже, серед них є 9 коробок цукерок того самого
сорту.
Оцінювання:
+, якщо наведено правильне пояснення
міркування;
±,
якщо вказано правильну відповідь;
-, якщо відповідь неправильна;
0, якщо учень не приступав до виконання
завдань.
2. Відповідь: 540˚. Сума кутів трикутника дорівнює 180˚, а сума кутів
чотирикутника дорівнює 360˚. Отже, 108˚ + 360˚ = 540˚.
Оцінювання:
+, якщо наведено правильне пояснення
міркування;
±,
якщо вказано правильну відповідь, але відсутнє пояснення;
-, якщо відповідь неправильна;
0, якщо учень не приступав до виконання
завдань.
3. Відповідь:
Знайдеться 7 учнів, які разом
розв’язали 35 – (1 + 2 + 3) = 29 задач. Оскільки 29
7 • 4, то знайдеться учень, який розв’язав не
менше 5 задач.
Оцінювання:
+, якщо наведено правильне пояснення
міркування;
-, якщо відповідь неправильна;
0, якщо учень не приступав до виконання
завдань.
4. Відповідь: 3, так як х1 + х2+х3 =
-1+1+3 = 3.
Оцінювання:
+, якщо наведено правильне пояснення
міркування і правильним є розв’язок
рівняння ;
±,
якщо вказано правильну відповідь, але відсутнє пояснення;
-, якщо відповідь неправильна;
0, якщо учень не приступав до виконання
завдань.
5. Відповідь: Другий гравець виграє без будь – якої стратегії. Після
кожного ходу кількість купок збільшиться на 1. У кінці гри їх має стати 45,
буде зроблено 42 ходи. Отже, останній хід зробить другий гравець. Оцінювання:
+, якщо наведено правильне пояснення
міркування;
±,
якщо вказано правильну відповідь, але відсутнє пояснення;
-, якщо відповідь неправильна;
0, якщо учень не приступав до виконання
завдань.
6. Відповідь:
819. Це послідовність
двозначних чисел, які починаються з 11. Тобто, 11,12,13,14,15,16,17,18…., а
далі просто коми розставлені іншими способами.
Оцінювання:
+, якщо наведено правильне пояснення
розв’язання;
±,
якщо вказано правильну відповідь;
-, якщо відповідь неправильна;
0, якщо учень не приступав до виконання
завдань.
Критерії перевірки роботи
Кожна задача
перевіряється за такою схемою:
«+» - 4 бали; «±» - 3 бали; «
» - 2 бали; «-» - 1 бал; «0» - 0 балів.
Використана література
1.
Математичні
олімпіадні змагання школярів України: 2007 – 2008 та 2008 – 2009: За ред.. Б.В.
Рубльова. – Львів: Каменяр, 2010. 549 с.
2.
Готуємось
до олімпіади з математики / Упорядн. А. Б. Веліховська, О. В. Гримайло. – Х:
Вид. група «Основа», 2007. – 160 с.
3.
Готуємось
до олімпіади з математики. – Х.: Вид. група «Основа», 2008. – 255 с.
4.
Морозевич
Я. Ю. Комбінаторика. – Х.: Вид. група «Основа», 2009. – 144 с.
5.
Всеукраїнська
учнівська олімпіада з математики . За матеріалами В. Ясінського, газета
«Математика», № 8 (548), лютий 2010. Ст.
12 – 21.
Завдання І (шкільного) етапу Всеукраїнських олімпіад з математики
10
клас
1.
З
точки А на рисунку можна «побачити» лише 5 з 9 зафарбованих квадратів (решта
невидимі, бо закриті цими п’ятьма). Яку
найбільшу кількість квадратів можна побачити на цьому рисунку, якщо змінити
точку розміщення спостерігача? 2б
2.
Четверо хлопців помітили, що якщо
вони складуть всі свої гроші без
першого, то зберуть
90 грн, без другого - 85, без
третього - 80, без четвертого - 75 грн..
Скільки у кожного
грошей? 6 б
3.
Дві пляшки однакового об’єму містять воду разом із
соком. Відношення об’єму води до соку у кожній пляшці відповідно дорівнює 2:1 і
4:1. Яке відношення вмісту води до соку буде, якщо злити вміст обох пляшок в
одну велику? 4б
1.
Розв’язання.
Перемістивши
спостерігача у точку перетину діагоналей центрального зафарбованого квадрата,
можна побачити усі 9 зафарбованих квадратів. Відповідь: 9
2. Розв’язання.
Хай в першого - x грн., в другого - y, в
третього - z, в четвертого - t.
Умови завдання визначають, що має
місце система рівняння
x + z + t = 80
x + y + t = 85
x + y + z =75 (2б)
Склавши всі рівняння ,
отримуємо, що 3(х + y +
z + t) = 330,(2б) так що х + y +
z + t = 110.
Віднімаємо з 110 послідовно 90,
85, 80, 75
знаходимо х, y, z, t. (2б)
(Відповідь: 20, 25,
30, 35 )
3.
11:4
Завдання І (шкільного) етапу Всеукраїнських олімпіад з математики
11
клас
1. Знайти
значення n,
якщо
. 4б
2.
Петро чекає Оленку на зупинці 19 хвилин.
Автобус А проходить кожні 3 хвилини, автобус В проходить кожні 5 хвилин.
Нудьгуючи, хлопець порахував різницю між числом автобусів А та числом автобусів
В, які проходили повз нього. Скільки різних результатів він міг отримати? 5б
3. Знайдіть 2x+3y,
де (x;y) - розв’язок системи рівнянь
Відповіді 1- 1005, 2 – 4,
4.
Критерій
· Якщо учень
розв’язав квадратне рівняння
- 1бал
· Якщо учень
розв’язав систему рівнянь хоча б
на половину - 2бал
· Знайшов
значення х,
- 3 бали
· Зумів знайти корені, що задовольняють умову
- 4 бали
· Отримав правильну відповідь та надав логічне тому
підтвердження - 5 балів
Задану умову задовольняють
,
тому 2x
+ 3y
=
Немає коментарів:
Дописати коментар