конспекти уроків Вектори Презентації

Тема.№1 Поняття вектора

Мета: ввести нові для учнів поняття вектора, довжини вектора, колінеарних векторів, рівних векторів; навчити учнів зображати і позначати вектори, відкладати відбудь якої точки площини; розвивати просторову уяву, логічне мислення; виховувати вміння слухати інших та висловлювати власну точку зору, культуру математичного запису, охайність математичних побудов.

Обладнання: конспект уроку, презентація, ноутбук, підручник  геометрія 9 клас , А.Г. Мерзляк.

Тип уроку: засвоєння нових знань.

Вимоги до рівня підготовки учнів: описують вектор, модуль і напрям вектора, рівність векторів; відкладають вектор, який є рівним даному; застосовують вивчені означення і властивості до розв'я­зування задач.

ХІД УРОКУ:

І. Організаційний момент.

Відмітити відсутніх в класі. Перевірити підготовку учнів до уроку (наявність робочого зошита, щоденника, олівця, лінійки).

ІІ. Мотивація навчальної діяльності. Постановка завдань, мети уроку.

До цього часу ми з вами в математиці розглядали величини, які визначаються тільки своїм числовим значенням. Це площа, маса, довжина, об’єм, температура, тощо. Такі величини називаються скалярними величинами.

В житті існує багато величин, для задання яких мало знати тільки їх числове значення. Наприклад ми не зможемо відповісти на запитання: що буде з пружиною, якщо на неї діє сила в 5H? Потрібно ще знати в якому напрямку ця сила діє. Бо пружина або стиснеться, або розтягнеться.

На сьогоднішньому уроці я ознайомлю вас з такими величинами, які визначаються не тільки числовим значенням, але й напрямом і називаються векторними величинами.

ІІІ. Вивчення нового матеріалу.

Історична довідка:

Дуже багато векторних величин ви будете розглядати в фізиці. Це: сила, переміщення, швидкість, вага, прискорення. Без знань про вектори не можливо займатись машино будівництвом, неможливо стати конструктором, дуже багато сфер життя в яких використовують знання про вектор. Першочергово починають вивчати вектори  в геометрії.

Означення. Вектором називається напрямлений відрізок.

Зображення вектора на мал.1

Мал.1

В

А

а

 

Позначити вектор можна ,  де точка А – початок вектора, точка В – кінець вектора, або вектор  .

Завдання №-1 (усно). Назвати вектори, зображені на слайді №-1. Назвати їх початок і кінець.

Відповідь: 

Означення. Нульовим вектором називається вектор у якого збігається початок і кінець.

Нульовий вектор позначається нулем з рискою

На рисунку нульовий вектор позначається однією точкою. Про напрям нульового вектора не говорять.

Означення. Абсолютною величиною (або модулем) вектора називається довжина відрізка, що зображає вектор.

Позначається:

Абсолютна величина нульового вектора дорівнює нулю.

Означення. Одиничним називається вектор довжина якого дорівнює 1

Ще його називають орта.

Завдання №-2 (усно)   слайд №-2

Відповідь:

Завдання №-3 (письмово)  Слайд №-3

Розв’язання:

Означення. Колінеарними називаються ненульові вектори, які лежать на одній, або на паралельних прямих.

Нульовий вектор вважається колінеарним будь якому вектору.

Завдання №-4 (усно)   Слайд №-4

 

Якщо два вектори колінеарні, то вони можуть бути однаково напрямленими і протилежно напрямленими. Позначають:

- однаково напрямлені, - протилежно напрямлені.

Означення. Рівними називаються вектори, якщо виконано дві умови:

1)    вони однаково напрямлені;

2)    їх довжини рівні.

Завдання №-5 (усно) № 417 (підручник А.Г. Мерзляк)

Означення. Вектори  і  називаються протилежними, якщо вони ма­ють однакову довжину та протилежно напрямлені.

 Вектор, протилежний вектору , позначають через - .

                                       

ІV. Закріплення вивченого матеріалу.

Завдання №-6 (письмово)

Накреслити два вектори:

а) рівні за абсолютною величиною і не колінеарні;

б) мають рівні довжини і однаково напрямлені;

в) мають рівні довжини і протилежно напрямлені.

Чи є серед даних пар рівні вектори?

Завдання №-7 (усно)  слайд №-5

Чи правильне твердження?

Додаткові задачі.

1.     У ромбі ABCD AC = 8 см, BD = 6 см. Знайдіть , , .

2.     Скільки різних векторів задають усі можливі упорядковані пари точок, які є вершинами:

а) трикутника; б) чотирикутника?

V. Підсумок уроку.

1.     Дати означення вектора.

2.     Які з величин є векторами: маса, швидкість, час, сила, температура, площа, довжина, робота?

3.     Що таке нульовий вектор, орта?

4.     Що називають абсолютною величиною вектора?

5.     Які вектори називаються рівними?

VI. Домашнє завдання.

А.Г. Мерзляк, 9 клас, §-12, ст.109-117.

№ - 408, 410, 420, 434.

Додаткова задача.

У квадраті ABCD АВ = 2 см. Знайдіть , , , , де F — середина CD.

Тема№2. Координати вектора

Мета: доповнити знання учнів про вектор; ввести поняття координати вектора, навчити будувати вектор за його координатами; виробити вміння за­стосовувати вивчені означення і властивості до роз­в'язування задач; виховувати культуру математичного запису, охайність математичних побудов.

Обладнання: конспект уроку, презентація, ноутбук, підручник  геометрія 9 клас , А.Г. Мерзляк.

Тип уроку: комбінований.

Вимоги до рівня підготовки учнів: знаходять координати вектора за координатами початку і кінця; будують вектор за його координатами; застосовують вивчені означення і властивості до розв'язування задач.

ХІД УРОКУ.

І. Організаційний момент.

Відмітити відсутніх в класі. Перевірити підготовку учнів до уроку (наявність робочого зошита, щоденника, олівця, лінійки).

ІІ. Перевірка домашнього завдання.

Зробити взаємоперевірку виконаного домашнього завдання. Відповісти на запитання, які виникли в учнів під час підготовки до уроку.

ІІІ. Актуалізація опорних знань.

Завдання №-1. Дати означення вектору. Назвати всі вектори зображені на слайді №-1 (усно)

Завдання №-2. Дано точки А, В, С, Д слайд №-2 (письмово)

а) зобразити вектори , , , , ;

б) накреслити вектор, початок якого збігається з кінцем вектора  , а кінець з кінцем вектора ;

в) накреслити вектор, початок якого збігається з кінцем вектора , а кінець з кінцем вектора .

Завдання №-3. АВСД – трапеція слайд №-3 (усно)

а) назвати пари однаково напрямлених векторів;

б) чи є вектори , і  однаково напрямленими;

в) назвати пари протилежно напрямлених векторів.

Завдання №-4. Що називається абсолютною величиною вектора?

АВСД – квадрат зі стороною 3 см  слайд №-4 (письмово)

Відповідь:

Завдання №-5. Які вектори називаються рівними?

Чи правильне твердження? Слайд №-5. Вибір поясніть. (усно)

Завдання №-6. Які вектори називаються колінеарними?

Слайд №-6 (письмово)

ІІІ. Постановка завдань, мети уроку.

Сьогодні на уроці ми доповнимо наші знання про вектор і розглянемо як вектор можна задати координатами. Навчимося будувати вектор за його координатами, знаходити довжину вектора знаючи його координати.

IV. Пояснення нового матеріалу.

Розглянемо на координатній площині вектор . Від початку відліку відкладемо рівний йому вектор . Координатами вектора   називаємо координату точки А.

Означення. Координатами вектора   називаємо координати точки кінця вектора відкладеного від початку координат .

Рівні вектори мають рівні координати і навпаки, якщо координати векторів рівні, то і самі вектори рівні.

На малюнку

Означення. Якщо у вектора точка А(х₁; у₁), а точка В(х₂; у₂), то координатами вектора  (х; у)  будуть числа    х = х₂ – х₁,   у = у₂ – у₁.

Якщо: А(х₁; у₁),  В(х₂; у₂),  то: ( х₂ – х₁; у₂ – у₁)

Доведення цього твердження розглянути самостійно ст.118 підручника.

Означення. Абсолютна величина вектора з координатами (х; у) дорівнює арифметичному квадратному кореню із суми квадратів його координат.     ,    то

V. Закріплення вивченого.

Завдання №-1. Побудуйте , якщо відомо, що (-2; 4).

Завдання №-2. Знайти координати вектора , якщо Q(-7; 5), N(3; -2).

Завдання №-3. Знайти , якщо (4; 3).

Завдання №-4. Знайти , якщо М(3; -2), N(-1; -3).

Завдання №-5. Модуль вектора (p+1; -3) дорівнює 5, знайти p.

Завдання №-6. (№448 підручника). Дано точки А(3; -7), В(4; -5), С(5; 8). Знайдіть координати точки D такої, що .

Завдання №-7. (№451 підручника). Доведіть, що чотирикутник ABCD з вершинами в точках А(1; -5), В(2; 3), С(-3; 1), D(-4; 7) є вершинами паралелограма.

VІ. Підбиття підсумків уроку.

1.     Що називають координатами вектора?

2.     Як побудувати вектор заданий його координатами?

3.     Як знайти координати вектора, заданого координатами його початку і кінця?

4.     Як знайти модуль вектора, заданого його координатами?

VІІ. Домашнє завдання.

А.Г. Мерзляк, 9 клас, §-13, ст.117-119.

№ - 446(1), 450, 454.

Тема№3. Додавання векторів.

Мета: вдосконалити та доповнити знання учнів про вектор; ввести поняття суми двох векторів, розглянути закони додавання векторів, навчити будувати суму двох даних векторів, використовуючи правило трикутника і паралелограма; розвивати логічне мислення, вміння переносити знання в нестандартні ситуації; виховувати культуру математичного запису, охайність математичних побудов.

Обладнання: конспект уроку, кольорова крейда, підручник  геометрія 9 клас , А.Г. Мерзляк.

Тип уроку: комбінований.

Вимоги до рівня підготовки учнів: описують алгоритм додавання векторів; відкладають вектор, що дорівнює сумі векторів; формулюють властивості суми векторів; застосовують вивчені властивості й означення до розв'язування задач.

ХІД УРОКУ:

І. Організаційний момент.

Відмітити відсутніх в класі. Перевірити підготовку учнів до уроку (наявність робочого зошита, щоденника, олівця, лінійки).

ІІ. Перевірка домашнього завдання.

Перевірити правильність виконаного домашнього завдання за зразком біля дошки. Відповісти на запитання, які виникли в учнів під час підготовки до уроку.

ІІІ. Актуалізація опорних знань.

Вправа: «Мозковий штурм».

5.     Дати означення вектора.

6.     Що таке нульовий вектор, орта?

7.     Що називають абсолютною величиною вектора?

8.     Які вектори називаються рівними?

9.     Що називають координатами вектора?

10.    Як побудувати вектор заданий його координатами?

11.    Як знайти координати вектора, заданого координатами його початку і кінця?

12.    Як знайти модуль вектора, заданого його координатами?

Міні-самостійна робота:

Дано точки А(2; 3), B(1; 1). Знайти:

а) координати  вектора ;  

б) координати  вектора ;

в) - ?,    - ?

ІV. Мотивація навчальної діяльності. Постановка завдань, мети уроку.

Всі ми знаємо байку І.А. Крилова: «Лебідь, Рак та Щука». На вашу думку чому вони так і не змогли потягнути того возика?

Відповідь на це запитання ми можемо знайти у фізиці та геометрії.   

Дивлячись на цей малюнок я думаю ви змогли впізнати тільки нове для вас поняття «вектор», а от що з ним робили, думаю ви не здогадуєтесь.

Сьогодні на уроці ми доповнимо наші знання про вектор і розглянемо як можна додавати вектори, з’ясуємо, що є сумою векторів. Навчимося будувати суму векторів та знаходити координати суми векторів.

V. Пояснення нового матеріалу.

Нехай матеріальна точка перемістилась з точки А в точку В, а потім з точки В в точку С. У результаті цих двох переміщень матеріальна точка перемістилась з точки А в точку С.

Оскільки переміщення з точки А в точку С складається з переміщення з А в В і переміщення з В в С, то природно називати сумою векторів і :  

Правило додавання векторів (правило трикутника):

Нехай і  - два вектори. позначимо довільну точку А і відкладемо від цієї точки вектор = . Потім від точки В відкладемо вектор = . Вектор  називають сумою векторів  і .

        

Алгоритм побудови суми векторів за правилом трикутника:

1.     Від довільної точки відкладемо вектор, що дорівнює вектору .

2.     Від кінця вектора відкладемо вектор, що дорівнює вектору .

3.     Сумою  буде вектор, початок якого збігається з початком вектора , а кінець з кінцем вектора .

За правилом трикутника можна додавати вектори не користуючись малюнком. Наприклад:

Колінеарні вектори також додаються за цим прави­лом:

                               

Завдання №-1. Побудувати за правилом трикутника суму векторів зображених на дошці.

Основні властивості додавання векторів:

1)  +  =  +  (переставний закон додавання);

2) (  + ) +  =  + (  + ) (сполучний закон додавання);

3)  + 0 =  (закон додавання вектора до нульового вектора);

4)  + (- ) = 0 (закон додавання протилежних векторів).

Завдання №-2. Спростити вираз:

Властивість №1 дозволяє виконувати додавання векторів за

 пра­вилом паралелограма:

 

 

Алгоритм побудови суми векторів за правилом паралелограма:

1.     Від довільної точки відкласти вектори, що дорівнюють векторам .

2.     На цих векторах побудувати паралелограм.

3.     Сумою векторів  буде вектор, що є діагоналлю цього паралелограма, початок якого збігається з початками векторів .

Теорема. (Про координати суми векторів)

Якщо координати векторів і відповідно дорівнюють

(а₁ ; а₂) і (b₁ ; b₂), то координати вектора = (а_{1 +} b_1; а₂ + b₂).

(a₁;a₂) + (b₁;b₂) = (a₁+b₁; a₂+b₂).

Доведення самостійно ст.123

VI. Закріплення вивченого.

Завдання №-3. Побудувати суму векторів за байкою І.А. Крилова: «Лебідь, Рак та Щука».

Завдання №-4. Знайти координати суми векторів, і якщо (-2;1),

(3;-4).

Завдання №-5. (самостійно) Дано вектори (4;-5) і (-1;7). Знайти координати

Завдання №-6. Сума векторів (5;-3) та (х;4) дорівнює вектору

(2;у).  Знайти х та у.

Завдання №-7. (додаткове). Довести, що чотирикутник АВСД – паралелограм, якщо , де Р і Х – довільні точки.

IV. Підбиття підсумків уроку.

Вправа: «Незакінчене речення».

1. Щоб побудувати вектор , що дорівнює  + , треба від кінця вектора  відкласти вектор , потім вектор , початок якого збігається з початком вектора ..., а кінець - з кінцем вектора ...     (правило …).

2. Для векторів  і  зі спільним початком їхня сума зображується ... паралелограма, який побудовано на цих векторах (правило …).

3. Які б не були точки А, В, С, має місце векторна рівність  + = ....

4. Сума протилежних векторів дорівнює ... .

5. Якщо сума двох векторів дорівнює , то ці вектори ... .

V. Домашнє завдання.

А.Г. Мерзляк, 9 клас, §-14, ст.122-125.

№ - 466, 491(а), 493

Вивчити:

1.    Правило трикутника для додавання векторів;

2.    Правило паралелограма для додавання векторів;

3.    Основні властивості додавання векторів.

Додатково:

1.    Дано АВС. Побудувати

2.    У паралелограмі АВСД діагоналі перетинаються в точці О. виразити через вектори  вектори:   .

Тема№4. Віднімання векторів

Мета: закріпити та розширити знання учнів про вектор; дати означення різниці векторів , сформувати вміння будувати різницю векторів, навчити виражати одні вектори через інші; вивчити властивості віднімання векторів; формувати вміння використовувати вивчені означення та властивості до розв’язування задач; розвивати усну мову, абстрактне мислення; виховувати акуратність, культуру математичного запису і побудов.

Обладнання: конспект уроку, кольорова крейда, підручник  геометрія 9 клас , А.Г. Мерзляк.

Тип уроку: комбінований.

Вимоги до рівня підготовки учнів: описують віднімання векторів; відкладають вектор, що дорівнює різниці векторів; формулюють властивості різниці векторів; застосовують вивчені означення та вла­стивості до розв'язування задач.

ХІД УРОКУ

І. Організаційний момент.

Відмітити відсутніх в класі. Перевірити підготовку учнів до уроку (наявність робочого зошита, щоденника, олівця, лінійки).

ІІ. Перевірка домашнього завдання.

Перевірити наявність виконаного домашнього завдання. Відповісти на запитання, які виникли в учнів під час підготовки до уроку.

ІІІ. Актуалізація опорних знань.

Вправа: «Ти – мені, я – тобі». (запитання які можуть бути задані)

1. Що називається вектором?

2. Який вектор називається нульовим, одиничним?

3. Що називається абсолютною величиною вектора?

4. Які вектори називаються рівними?

5. Сформулюйте правило побудови суми векторів за правилом трикутника і паралелограма.

6. Сформулюйте теорему про координати суми векторів.

Математичний диктант.

Дано точки F(-5;3) та Q(2;-1) знайти:

а) координати вектора ;

б) довжину вектора ;

г) довжину вектора .

ІV. Постановка завдань, мети уроку.

На попередньому уроці ви навчились додавати вектори, але як і з числами так і з векторами в практиці існує ще й дія віднімання. Сьогодні на уроці ми з вами розглянемо правило віднімання векторів, введемо нове поняття протилежні вектори. Розглянемо властивості віднімання векторів. Навчимося знаходити координати різниці векторів.

V. Пояснення нового матеріалу.

Означення. Різницею  векторів  і називається такий вектор , який при додаванні до вектора  дає вектор :  .

Щоб побудувати вектор , який дорівнює різниці , треба від довільної точки А відкласти вектори:  і . тоді є різницею , оскільки

 

Теорема. (Про координати різниці векторів)

Якщо координати векторів і відповідно дорівнюють

(а₁ ; а₂) і (b₁ ; b₂), то координати вектора = (а₁ - b_1; а₂ - b₂).

(a₁;a₂) – (b₁;b₂) = (a₁ – b₁; a₂ – b₂).

Доведіть цю теорему самостійно дома.

З цієї теореми випливає означення.

Означення. Протилежними векторами називають два ненульові вектори, які мають рівні довжини, але протилежно напрямлені.

Вектор протилежний вектору , позначається .

Очевидно, .

Доведемо, що . Справді, якщо , то

;     

 

Формула  дає інше означення операції віднімання: щоб відняти від деякого вектора  вектор , досить додати до нього протилежний вектор .

 

З означень додавання і віднімання двох векторів та власти­востей трикутника випливають властивості модулів двох векто­рів:

 –  ≤  ≤  + ,

VI. Закріплення вивченого матеріалу.

Завдання №1. Накреслити попарно не колінеарні вектори  і

побудувати вектори , , , , , .

Завдання №2. Знайдіть координати векторів:

  а)  – ; б)  – ;    в)  – ;    г)  –  – .

                        

Завдання №3. Виразити кожен з векторів, зображених на малюнку через два інших.

 

Відповідь. ;  ;  .

Завдання №4. Спростити вираз: .

Завдання №5. Знайти вектор х за умови:

Завдання №6. У АВС:  АВ=6, ВС=8, В=90⁰.

Знайти  і .

Завдання №7. Дано вектори (-4;6) і (-8;-3) знайти координати ,

якщо .

Завдання №8. Відрізок ВВ₁ – медіана АВС.  Виразити вектори ,

, ,  через вектори  і .

Відповідь. ;  ;  ;  .

Завдання №9. Дано вектори (4;-5) і (-1;7). Знайти координати .

Завдання №10. (Додатково).   Накреслити вектори  так, щоб

,  побудувати вектори ,  ,  .

VII. Підсумок уроку.

1.       Що називається різницею векторів?

2.       Які вектори називаються протилежними?

3.       Сформулюйте теорему про координати різниці векторів.

4.       На малюнку задано вектори. Виразіть  через

     

 

Відповідь. ;  ; 

VIII. Домашнє завдання.

А.Г. Мерзляк, 9 клас, §-14, ст.122-126   №- 472, 491(б), 497.

1. Сторона рівностороннього АВС дорівнює а.

Знайти: а) ;    б) .

2. Дано паралелограм АВСД. Виразити вектор через вектори  і , якщо а) ,  ;  б) ,  ;  в) ,  .

Відповідь. а) ;  б) ;  в) .

Тема№5. Множення вектора на число

Мета: розширити знання учнів про вектор, дати означення добутку вектора на число, навчити будувати вектор , довести теорему про колінеарність векторів; розвивати усну мову, вміння порівнювати, аналізувати; виховувати вміння слухати інших, культуру математичного запису, охайність математичних побудов.

Обладнання: конспект уроку, кольорова крейда, підручник  геометрія 9 клас , А.Г. Мерзляк.

  Тип уроку: засвоєння нових знань.

Вимоги до рівня підготовки учнів: описують множення вектора на число; відкладають вектор, що дорівнює добутку вектора на число; формулюють властивості множення вектора на число; описують колінеарність векторів; застосовують вивчені означення та властивості до розв'язування задач.

ХІД УРОКУ:

І. Організаційний момент.

Відмітити відсутніх в класі. Перевірити підготовку учнів до уроку (наявність робочого зошита, щоденника, олівця, лінійки).

ІІ. Актуалізація опорних знань.       

Вправа: «Ланцюжок».

1.     Що називається вектором?

2.     Який вектор називається нульовим, одиничним?

3.     Що називається абсолютною величиною вектора?

4.     Які вектори називаються рівними?

5.     Сформулюйте правило побудови суми векторів за правилом трикутника і паралелограма.

6.     Сформулюйте теорему про координати суми векторів.

7.     Що називається різницею векторів?

8.     Які вектори називаються протилежними?

9.     Сформулюйте теорему про координати різниці векторів.

ІІІ. Постановка завдань, мети уроку.

На попередньому уроці ви навчились додавати та віднімати вектори, але як і з числами так і з векторами в практиці існує ще й дія множення. Сьогодні на уроці ми з вами розглянемо правило множення вектора на число, з’ясуємо умову колінеарності векторів знаючи їх координати. Розглянемо властивості множення вектора на число. Розв’яжемо задачі в яких використовується множення вектора на число.

 ІV. Вивчення нового матеріалу.

Візьмемо який-небудь вектор і побудуємо суму . Позначимо таку суму і назвемо добутком вектора на число 3.

Довжина вектора дорівнює довжині вектора , помноженій на число 3.  Вектор    і  

 

Означення.  Добутком ненульового вектора  на число називається вектор, довжина якого дорівнює добутку довжини вектора на модуль числа х, а напрям збігається з напрямом вектора , коли х > 0, і протилежний напряму , коли х < 0:

              .

Теорема. (про колінеарність векторів)

Ненульові вектори  колінеарні тоді й тільки тоді, коли існує таке число х, що .

Доведення. Нехай . Доведемо, що і - колінеарні.

За означенням добутку вектора на число, вектори  і  або однаково напрямлені, або протилежно. Тому вектори і - колінеарні.

Доведемо обернене твердження: якщо не нульові вектори  і колінеарні, то .

а) і однаково напрямлені, то . Справді:  Отже: .

б) і протилежно напрямлені, то .

Вектор  однаково напрямлений з вектором , а  Отже .

Теорему доведено.

Теорема. (про координати вектора)

Якщо вектор  має координати (а_1; а₂), то вектор має координати

  (ka₁; ka₂)

                   Якщо     (а_1; а₂)     то     (ka₁; ka₂)

Наслідок: вектори (а_1; а₂)  і (ka₁; ka₂)- колінеарні.

Доведення самостійно дома ст.134 підручника.

Основні закони множення вектора на число:

1.  - сполучний закон.

2.   - перший розподільний закон.

3. - другий розподільний закон.

4. 

Закони операцій над векторами дають можливість у виразах, що містять суми, різниці векторів і добуток вектора на число, виконувати перетворення за тими самими правилами, що і для числових виразів.

Наприклад:   .

V. Розв’язування задач.

Завдання №-1.  Дано вектор . Побудувати вектори:

Завдання №-2. Дано вектор  і . Побудувати вектори:

 

Завдання №-3. Спростити вирази: а)    

 б) .

Завдання №-4. Знайти координати вектора  , якщо (4; -6).

Завдання №-5. Знайти координати , якщо (-1; 1), (2; -3).

Завдання №-6. Серед векторів  знайдіть

пару колінеарних векторів.

Завдання №- 7. При яких значеннях   вектори   -

колінеарні?

Завдання №-8.  При якому значенні   точки А(2;3), В(-3;5), С( ;9) лежатимуть на одній прямій?

Розв’язання: точки А, В, С лежатимуть на одній прямій, якщо і  будуть колінеарними.   ;                За умовою колінеарності:  ; 

 Відповідь: а = -13.

Додаткові задачі:

1.     Довести, що в паралелограмі ABCD,  

Доведення:  отже 

2. У паралелограмі ABCD точка F – середина сторони CD. Виразити вектори  і  через вектори

Відповідь.

VI. Підсумок уроку.

1.     Що називають добутком вектора на число?

2.     Що можна сказати про ненульові вектори  і  , якщо  , к-число

3.     Як пов’язані координати колінеарних векторів?

4.     Сформулюйте властивості множення векторів.

VII. Домашнє завдання.

А.Г. Мерзляк, 9 клас, §-15, ст.133-137.

№ - 524, 544, 551, 558.

Тема№6. Скалярний добуток векторів

Мета: розширити знання учнів про вектор, розглянути поняття кута між векторами,  дати означення скалярного добутку векторів; довести теорему про перпендикулярність двох векторів; вивчити властивості скалярного добутку векторів; фор­мування вмінь застосовувати вивчені означення та вла­стивості до розв'язування задач; виховувати культуру математичного запису.

Обладнання: конспект уроку, кольорова крейда, підручник  геометрія 9 клас , А.Г. Мерзляк.

Тип уроку: засвоєння нових знань.

Вимоги до рівня підготовки учнів: формулюють означення скалярного добутку, його властивості; вміють визначати кут між векторами, застосовують вивчені означення та властивості до розв'язування задач.

ХІД УРОКУ:

І. Організаційний момент.

Відмітити відсутніх в класі. Перевірити підготовку учнів до уроку (наявність робочого зошита, щоденника, олівця, лінійки).

ІІ. Актуалізація опорних знань.       

Вправа: «Швидке опитування».

10.     Що називається вектором?

11.     Який вектор називається нульовим, одиничним?

12.     Що називається абсолютною величиною вектора?

13.     Які вектори називаються рівними?

14.     Сформулюйте правило побудови суми векторів, різниці векторів, побудови вектора помноженого на число.

15.     Як знайти координати суми і різниці векторів, множення вектора на число?

ІІІ. Мотивація навчальної діяльності. Постановка завдань, мети уроку.

На попередніх уроках ви навчились додавати та віднімати вектори, множити вектор на число.

Із курсу фізики ви знаєте, що коли під впливом постійної сили  тіло перемістилося з точки А в точку В, то здійснилась механічна робота .

Цей факт показує, що для розв’язування таких задач, наших знань про вектор мало. Отже сьогодні на уроці ми з вами розглянемо нове для вас поняття скалярний добуток векторів. З’ясуємо властивості скалярного добутку, навчимося знаходити кут між векторами. Розв’язувати задачі в яких використовується скалярний добуток векторів.

 ІV. Вивчення нового матеріалу.

Нехай - ненульові і неспівнапрямлені  вектори. від довільної точки О відкладемо вектори , відповідно рівні векторам .

О

А

В

1200

 

Величину називатимемо кутом між векторами .

Кут між векторами позначається так: .

Якщо вектори  співнапрямлені, то вважають, що  , якщо хоча б один із векторів нульовий, то вважають, що .

Справедливо  

Означення. Скалярним добутком двох векторів називають добуток їх модулів і косинуса кута між ними.

              .     

Означення. Скалярним добутком двох векторів заданих їхніми координатами обчислюється за формулою:

Наслідок: косинус кута між ненульовими векторами обчислюється за формулою   

Властивості скалярного добутку:

1.     ;

2.     ;

3.     .

Означення. Перпендикулярними називаються вектори кут між якими дорівнює 90⁰. Пишуть .

Теорема. (Про скалярний добуток векторів)

Скалярний добуток двох ненульових векторів дорівнює нулю тоді й тільки тоді, коли ці вектори перпендикулярні.

Доведення:

1.     Нехай: . Тоді .

2.     Нехай:  Тоді . Оскільки , то . Звідси , тобто .        

V. Розв’язування задач.

Завдання №-1. Знайдіть скалярний добуток векторів , якщо .

Завдання №-2.  Знайдіть , якщо .

Завдання №-3. Знайдіть   , якщо .

Завдання №-4. Знайти косинус кута між векторами

Завдання №-5. Знайти градусну міру кута між векторами

Завдання №-6. Знайти кут між , якщо .

Розв’язання:          Тоді . Отже, , звідси

Відповідь. .

VI. Підсумок уроку.

1.     Запишіть формули для знаходження скалярного добутку векторів.

2.     Як знайти кут між векторами?

3.     Які вектори називаються перпендикулярними?

4.     Як встановити перпендикулярність векторів?

VII. Домашнє завдання.  А.Г. Мерзляк, 9 клас, §-16, ст.146-149

№ - 583(1,2), 586(1), 596, 608.

Тема№7. Підготовка до контрольної роботи

Мета: формувати вміння учнів застосовувати вивчені означення та властивості до розв'язування задач; розвивати самостійність в прийнятті рішень при розв’язуванні вправ, вміння аналізувати, порівнювати, робити висновки; виховувати вміння слухати інших, висловлювати власну точку зору.

Тип уроку: урок узагальнення і систематизації знань та вмінь.

Вимоги до рівня підготовки учнів: застосовують вивчені означення та властивості до розв'язування задач.

ХІД УРОКУ:

І. Організаційний момент.

Відмітити відсутніх в класі. Перевірити підготовку учнів до уроку (наявність робочого зошита, щоденника, олівця, лінійки).

ІI. Перевірка домашнього завдання.

Перевірити правильність виконання домашніх завдань за допомогою записів на дошці, які зроблено до початку уроку, та відповісти на запитання, які виникли в учнів при ви­конанні домашніх завдань.

IІI. Узагальнення й систематизація знань учнів з теми.
Вправа: «Фронтальна бесіда».

16.     Який вектор називається нульовим, одиничним?

17.     Що називається абсолютною величиною вектора?

18.     Які вектори називаються рівними?

19.     Сформулюйте правило побудови суми векторів за правилом трикутника і паралелограма.

20.     Сформулюйте теорему про координати суми векторів.

21.     Сформулюйте теорему про координати різниці векторів.

22.      Що називають добутком вектора на число?

23.     Як пов’язані координати колінеарних векторів?

24.     Запишіть формули для знаходження скалярного добутку векторів.

25.      Як знайти кут між векторами?

26.      Які вектори називаються перпендикулярними?

27.      Як встановити перпендикулярність векторів?

IV. Самостійна робота.

А.Г. Мерзляк, 9 клас, ст.156.  Тести.

Після закінчення роботи провести детальну перевірку. З’ясувавши пробіли у знаннях учнів розв’язати окремі завдання на дошці.

VІ. Розв’язування задач.

1.     Дано вектори .

Знайдіть:

2.     Дано точки А(1; 2),  В(2; 5), С(5; 4), D(4; 1). Знайдіть:

а) координати векторів

б) кут між векторами

3. Дано вектори . При якому значенні m вектори :

а) перпендикулярні;      б) колінеарні.

V. Підбиття підсумків уроку.

З'ясувати в учнів, про що нове вони дізналися під час ви­вчення теми «Вектори». Де вони можуть використати цю тему в житті.

VІ. Домашнє завдання.

А.Г. Мерзляк, 9 клас, §-12-16, ст.109-146. Підготуватися до написання контрольної роботи. Розв’язати задачі:

1.  Дано вектори .

Знайдіть:

2.  Дано точки А(-2; 1),  В(-1; 4), С(2; 5), D(1; 2). Знайдіть:

а) координати векторів

б) кут між векторами

3.  Дано вектори . При якому значенні m вектори :

а) перпендикулярні;      б) колінеарні.

4. Дано чотири вершини чотирикутника ABCD: A(1; 1), В(2; 2), С(0; 4),     D(-1; 2). Доведіть, що він — прямокутник.

Тема№8. Тематична контрольна робота

Мета уроку: провести контроль навчальних досягнень учнів з мети «Вектори»; розвивати вміння самостійно працювати та приймати рішення; виховувати акуратність математичних записів.

Тип уроку: перевірка знань.

Вимоги до рівня підготовки учнів: застосовують вивчені на попередніх уроках означення та властивості геометричних  фігур при розв'язуванні задач.

ХІД УРОКУ:

І. Організаційний момент.

Відмітити відсутніх в класі. Перевірити підготовку учнів до уроку (наявність контрольного зошита, щоденника, олівця, лінійки). Створити спокійну ділову обстановку.

ІІ. Постановка мети та завдань уроку.       

Ми з вами закінчили вивчати тему: «Вектори». В цьому розділі ми розглянули шість нових для вас тем: «Означення вектора», «Координати вектора», «Додавання та віднімання векторів», «Множення вектора на число», «Скалярний добуток векторів».

Сьогодні на уроці ми перевіримо рівень ваших знань з цих тем, написавши контрольну роботу, яка буде складатися з трьох частин. І частина тестова, в ІІ частині необхідно записати відповідь, ІІІ частина з повним розв’язанням.

ІІІ. Зміст контрольної роботи.

Користуючись рисунком виконайте завдання 1-6.

І рівень. (Обрати одну правильну відповідь)

1.  Знайдіть координати вектора .
а) (1; 1);    б) (-2; 2);  в) (2; 2);    г) (2; -2).

2.  Укажіть координати вектора .

a) (-2; 2);  б) (2; -2);   в) (2; 2);    г) (-2; -2).

3.  Укажіть вектор, який дорівнює век­тору .

      а) ;  б) ;      в) ;    г) .

4.  Знайдіть координати вектора  + .

а) (2; 5);   б) (1; 2);  в) (5; 2);     г) (1; -2).

5.  Знайдіть координати вектора  – .

    а)(1; 2);   б) (-1; 2);   в) (1; -2) ;   г)(-1; -2).

6.  Знайдіть  ∙ .

    а) ;     б) 2;       в) 0 ;               г) 1.

II рівень (Запишіть правильну відповідь)

7.  При якому значенні вектори  (1; -1) і  (п; 1) колінеарні?

8.  При якому значенні п вектори  (1; 1) і  (п; 1) перпендику­лярні?

9.  Знайдіть координати вершини D паралелограма ABCD, якщо

 А(0; 2), В(1; 0), С(2; 0).

IІI рівень (Запишіть повне розв’язання)

10.               Дано точки A(2; 1), B(3; 2), C(3; 1). Знайдіть внутрішній С   ABC.

11.               Дано чотири точки A(0; 0), B(1; 1), C(0; 2), D(-1; 1). Дове­діть, що чотирикутник ABCD — квадрат.

IV. Підбиття підсумків уроку.

З'ясувати, які завдання викликали труднощі в учнів, та від­повісти на запитання учнів.

V. Домашнє завдання.  А.Г. Мерзляк, 9 клас, §-12-16, ст.109-146.

1.            Знайдіть координати вектора  =  – 2 , якщо (1; 1), (3; 1).

2.            Дано три вершини паралелограма ABCD: A(-2; 1), В(-1; 1), С(1; 1). Знайдіть координати вершини D.

3.            Дано вектори (4; 2) і (x; -4). При якому значенні х ці вектори колінеарні?

https://drive.google.com/open?id=0B3L25L9xWjCNbzJ5SnBpUDhxTFU